Puede inferirse que de acuerdo a las fracciones generatriz de una expresión decimal periódica pura y periódica mixta, todo número perteneciente al conjunto que de los números racionales puede representarse mediante una fracción decimal periódica. De la forma siguiente:
1/3 = 0,333…= 0,3 (Periodo 3)
4/33 = 0,1212…= 0,12 (Periodo 12)
Expresado de otra forma:
Toda expresión decimal periódica puede ser representada mediante una fracción generatriz.
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También existen números decimales no periódicos que no pueden representarse mediante una fracción generatriz:
A los números decimales no periódicos que no tienen fracción generatriz, se les conoce con el nombre de números irracionales.
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Conjunto de los Números Irracionales
Al conjunto de los números irracionales se les denota mediante la letra I. Ahora bien, es bueno preguntarse ¿De dónde surgen estos números decimales no periódicos? Existen varias situaciones numéricas que dan origen a tales números.
El ejemplo clásico es el número π(pi), y se obtiene este número irracional al dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro.
π = Longitud de una circunferencia / Diámetro de la circunferencia
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Cuando la relación anterior se aplica a cualquier circunferencia, se obtiene:
π = 3,1415926535897932384626433832…..
Los puntos suspensivos indican que el número sigue indefinidamente.
π (Pi) se aproxima a 3,14 en la mayoría de los casos, pero realmente es un número de infinitas cifras. π (Pi) es una expresión decimal sin periodo y, contrario a lo que sucede en el caso de los números racionales, no tiene fracción generatriz.
También se originan números irracionales cuando se obtienen las raíces cuadradas de los números primos. Así:
También se originan números irracionales cuando se obtienen las raíces cuadradas de los números primos. Así:
√2 = 1,414213… √7 = 2,645751… √23= 4,795831…
Las raíces cuadradas de números naturales pares que no sean cuadrados perfectos también son números irracionales:
√8 = 2,828427… (Irracional) √144 = 12 (Racional)
Ejemplos: Con uso de la calculadora determina si los siguientes números son racionales o irracionales:
a) √121 b) √75 c) √4,6656 e) 1 + π
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